奇特的卡拉比-丘流行,一个流形对应一个宇宙

2018-11-09 22:11

地面上的蚂蚁认为,它的世界是平的,而不是弯曲的球体表面。球面上的每个小区域看起来都是普通的欧几里德空间,处于不同经度的城市仿佛有着平行的时空。

流形就是这样的几何空间,其上的每个小区域看起来都像普通的欧几里德空间。例如,球面、圆环面在局部上与二维的欧几里得空间类似,地球仪的表面可以从南极和北极(或东半球和西半球)投影到两张平面地图上。然而,从总体来说,它们却并不相同:麦哲伦绕着地球一直前行最终会回到起点,而不会走到无限远处,在地球表面奔跑的夸父永远不可能追逐到太阳。

○圆环面。|图片来源:Leonid_2

卡拉比-丘流形(Calabi-Yaumanifold)是一种复流形,可以分解成一片一片,看起来就像是复空间的平面。卡拉比-丘流形之所以特别,是因为它分解的片状结构只能通过旋转在复空间的类似物连接起来。在复一维(实空间的二维,因为复数的实数部分和虚数部分占据实数空间的两个维度)空间,唯一特别好的(紧致的)解是是环面,但是在更高维度,事情会变得非常有趣。虽然很难用图像来描绘任何超过两个实数维的流形,但用代数方程来构造流形的例子却并不困难。

我们知道,处于二维平面的一维圆形可以用方程x^2+y^2=r^2的实数解来描绘,平面上与原点距离为r的所有点(x,y)构成整个圆。嵌入三维空间的二维球面可以用方程x^2+y^2+z^2=r^2的实数解来描绘,空间中与原点距离为r的所有点(x,y,z)构成整个球面。在更高维度上,我们则可以用方程

的(实数)解来描述n维球体。与此类似,复三维卡拉比-丘流形是通过方程

的复数解来描述的。这个著名的卡拉比-丘流形被称为“5次多项式(quintic)”。

○卡拉比-丘流形。

卡拉比-丘流形最初是由意大利数学家卡拉比(EugenioCalabi)提出的猜想,丘成桐证明了这个猜想,并表明卡拉比-丘流形具有物理学上非常有趣的性质。爱因斯坦的广义相对论表明,时空按照能量与动量的分布弯曲,然而,如果空间是空的呢?根据丘定理,不仅平坦空间是广义相对论方程的解,卡拉比-丘流形也是。

因为这个原因,卡拉比-丘空间是弦论中额外空间维度(6个实数维度)形状的可能候选对象。在弦论中,人们尤其感兴趣的是复三维卡拉比-丘流形,例如5次多项式流形。(进一步阅读《十个问题,带你认识弦理论》)

卡拉比-丘5次多项式流形的每一个例子都会给出一个不同的宇宙,每一个宇宙具有一套不同的基本粒子和相互作用。这就使得分类问题——卡拉比-丘5次多项式流形的哪一个例子对应哪一个宇宙,它们的性质是什么——变得非常有趣。

然而,到目前为止,我们还不清楚这些例子的数量是否为有限。迄今为止,物理学家和数学家已经构建了大约5亿个例子[2]。

○卡拉比-丘流形的一个模型。|图片来源:[1]

在构建卡拉比-丘流形的例子时,物理学家们做了一个奇怪的观察:它们似乎自然地成对出现,每一个卡拉比-丘流形与一个不同的“镜像”卡拉比-丘流形相关联。

只要稍微调整一下弦理论,就可以将卡拉比-丘流形与它的镜像交换,而不会让物理学发生任何变化。这使得物理学家在卡拉比-丘流形的几何结构与其镜像之间提出许多对应关系。最著名的是由牛津大学的数学家推导出的公式,可以用来计算任何曲线嵌入到一个卡拉比-丘流形有多少种不同的方式。

这可是一个数学难题!令人惊讶的是,许多“弦”定理随后被严格证明,并启发了许多数学研究。

参考来源:

[1]https://www.maths.ox.ac.uk/about-us/life-oxford-mathematics/oxford-mathematics-alphabet/c-calabi-yau-manifolds

[2]http://hep.itp.tuwien.ac.at/~kreuzer/CY/

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